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Sistema di coordinate intrinseco in fisica #77859

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  • col.fra
  • Punto
Salve, in fisica 1 abbiamo trattato il sistema di coordinate intrinseco destroso.
Forse è più un argomento di matematica, ma servirà in meccanica per descrivere il moto. Il professore si è soffermato principalmente sul calcolo dei versori in questo sistema, ma vorrei comunque approfondire l'argomento, che non è presente sul libro e che non trovo su internet.
Grazie

 
 

Re: Sistema di coordinate intrinseco in fisica #77861

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  • Luigi76
  • Le Roi
Le equazioni parametriche cartesiane di una curva generalmente regolare dello spazio sono:
x = x(ξ) ; y = y(ξ) ; z = z(ξ)
e possono essere riassunte nella equazione vettoriale
OP = OP(ξ)
dove O è un punto fisso, di solito l'origine delle coordinate cartesiane, e P è il generico punto della curva.
Sulla curva si può istituire un sistema di ascisse curvilinee "s" scegliendo un suo punto O' come origine degli archi, e fissando un verso di percorrenza come positivo.
Ciò fatto, è immediato dimostrare che
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dOP/ds = T
essendo T il versore della tangente in P alla curva orientato nel verso delle s crescenti.
Infatti:
dOP/ds = limΔOP/Δs = lim(OP' - OP)/Δs = limPP'/Δs (per Δs->0)
Scusa la scritta, ma con la tastiera del PC non so fare di meglio.
Aiutandoti con un semplice disegno, vedrai che il vettore PP' è la corda che unisce i due punti P e P' della curva, mentre Δs = lunghezza dell'arco di curva avente gli estremi in P e P'.
Ne segue, che il modulo di
|dOP/ds| = lim|PP'/Δs| = 1
Si conclude pertanto che il derivato rispetto alla ascissa curvilinea "s" del vettore OP è il versore T della tangente in P alla curva orientato nel verso delle s crescenti.
Giardini Nero 2017 2018 Autunno Inverno Scarpe Tomacalzature 5T0n8gxw Anche il versore T può essere considerato una funzione vettoriale dell'ascissa curvilinea s. E, per la regolarità della curva, esiste il vettore:
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dT/ds = lim(T(s+Δs) - T(s))/Δs (per Δs -> 0)
Poiché |T| = 1 = costante, il suo derivato è perpendicolare a T . Chiamo N (versore della normale principale centripeta) il versore tale che
dT/ds = c N (formula di Frenet)
c si chiama "curvatura locale" della curva in P. Il suo reciproco
ρ = 1/c = 1/|dT/ds|
si chiama "raggio di curvatura" locale.
Anche in questo caso, un semplice disegno (che io non posso fare) può aiutare a comprendere le dimostrazioni e la definizione su scritta.
Riepilogando, sono così definiti i due versori:
T della tangente in P alla curva orientato nel verso delle s crescenti;
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N della normale principale centripeta;
possiamo quindi definire un terzo versore :
B = T x N
come prodotto vettoriale dei primi due. B si chiama versore della binormale in P alla curva.
Concludendo, la terna
P, T, N, B
si chiama "terna intrinseca" o "triedro principale" alla curva.
Ricorda che alla base c'è l'ipotesi che la curva sia "generalmente regolare" (se ancora si utilizza questa nomenclatura).

Ringraziano: col.fra
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